2020年高中一年级数学常识讲学(必学5)专题11 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(深度精讲)

2019-2020学年高中一年级数学常识讲学（必学5）

专题11二元一次不等式与简单的线性规划问题

【常识导图】

【目的导航】

1.了解二元一次不等式的几何意义；

2．会画二元一次不等式表示的平面地区；

3．可以用平面地区表示二元一次不等式组.

4.了解线性规划的意义，学会有关定义术语，能正确借助图形解析法中的求解程序，解决线性规划问题；

5．可以用线性规划常识解决一些简单的实质问题.

【重难题精讲】

重点1、二元一次不等式

概念：大家把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．

解集：满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对，所有如此的有序数对构成的集合称为二元一次不等式的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式的解集就能看成直角坐标内的点构成的集合．

重点2、平面地区

概念：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面地区，直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面地区，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面地区的边界.这个时候，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示地区不包含边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面地区包含边界，把边界画成实线.

判断办法：仅需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就能判定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面地区．

特别地，当C≠0时，常取原点作为测试点；当C＝0时，常取或作为测试点．

重点3、线性规划中的基本定义

重点4、线性规划常用来解决下列问题：

给定少量的人力、物力、资金等资源，如何安排运用这类资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大．

给定一项任务，如何统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.容易见到问题有：物资调运、商品安排、下料等问题．

重点5、最佳解常转化为由目的函数得到的直线到原点距离的最值来考虑．，一般等价于纵截距最大)

【典题精练】

考试知识点1、二元一次不等式表示的平面地区

例1．【四川攀枝花2018-2019学年高中一年级下学期期末】已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面地区内，则实数的取值范围是____．

【答案】

【分析】

依据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，

若、均在不等式表示的平面地区内，则有，

解可得：，即的取值范围为，；

故答案为，． 

考试知识点点睛：因为在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点，使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点，把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

考试知识点2、二元一次不等式组表示的平面地区

例2．画出下列不等式（组）表示的平面地区：

（1）.

（2）.

（3）

（4）.

【答案】（1）详见分析；（2）详见分析；（3）详见分析；（4）详见分析.

【分析】

（1）画出平面地区如下图所示：

（2）画出平面地区如下图所示：

（3）画出平面地区如下图所示：

（4）原不等式等价于或.故画出平面地区如下图所示：

考试知识点点睛：1.在画二元一次不等式组表示的平面地区时，应先画出每一个不等式表示的地区，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．

2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面地区，仅需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点，从Ax0＋By0＋C的正负判断．

考试知识点3、用二元一次不等式组表示已知平面地区

例3．如图，在中，已知点.写出地区所表示的二元一次不等式组.

【答案】

【分析】

阴影部分在直线的左下方，故；在直线的右上方，故；在直线的右下方，故.所以二元一次不等式组为.

故填：. 

考试知识点点睛：已知平面地区，用不等式表示，其一般步骤是

①求出边界的直线方程；

②确定不等号，从平面地区内不在所有直线上的点中任取一点，将它坐标代入直线方程判断符号确定不等号．

考试知识点4、求线性目的函数的最值问题

例4．【2019年天津高考考试数学】设变量满足约束条件，则目的函数的最大值为

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【分析】

已知不等式组表示的平面地区如图中的阴影部分．

目的函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目的函数在点处获得最大值．

由，得，

所以．

故选C．

考试知识点点睛：

解线性规划问题的重点是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最佳解一般在可行域的边界线交点处或边界线上获得．在解题中也可由此迅速找到最大值点或最小值点．

应该注意直线斜率的大小．

考试知识点5、简单的线性规划中的整数解

例5．求满足的整点的个数.

【答案】25

【分析】

当时，不等式，即表示的地区是直线有原点的一侧（即与轴正半轴围成的地区）.

借助对称性，不等式表示的地区是4条直线，，，所围成的正方形（包含边界）.

当时，整点在x轴上，从点到点共7个；当时，整点从点（-2，1）到点共5个；同理，当时，整点有3个；当时，整点有1个，依据对称性，满足的整点个数为：.

考试知识点点睛：在求解最佳解为整数点的题型时，若最佳解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最佳解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答．

考试知识点6、非线性目的函数的最值问题

例6．已知、满足约束条件.

（1）求目的函数的最大值与最小值；

（2）求目的函数的最大值与最小值；

（3）求目的函数的取值范围；

（4）求目的函数的取值范围.

【答案】（1）最大值，最小值；（2）最大值，最小值；（3）；（4）.

【分析】

解约束条件中不等式组表示的平面地区如图所示，阴影部分（含边界）为可行域.

（1）由图可知，当直线，即直线过点时，该直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，当直线过点时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值；

（2）由图可知，当直线，即直线过点时，该直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，当直线过点时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值；

（3）设点，则表示可行域内任一点到原点距离的平方.由图可知，其最大值为.

直线的斜率为，直线的斜率为，，，故其最小值为，因此，的取值范围为；

（4）令点，则表示可行域内任一点与点连线的斜率.当直线过点时，此时直线的倾斜角获得最小值，此时，取最小值，当直线过点时，此时，直线的倾斜角最大，此时，取最大值，因此，的取值范围是.

考试知识点点睛：求非线性目的函数的最值，应该注意剖析充分借助目的函数所表示的几何意义，一般与截距、斜率、距离等联系．

考试知识点7、已知目的函数的最值求参数

例7．设，其中实数、满足，若的最大值为，求实数的值.

【答案】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示，阴影部分（包含边界）.

由，得，可知为直线在轴上的截距.

由图象可知，当直线经过点和可行域的顶点时，

直线在轴上的截距取到最大值，此时，因此，.

考试知识点8、收益最大问题

例8．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要三种主要材料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种材料的吨数如表所示：现有种材料 200 吨， 种材料 360 吨，种材料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的价值为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的价值为 3 万元. 分别用表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；

问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的价值？并求出此最大收益．

【答案】（1）见分析；（2）最大收益为112万元

【分析】

（1）解：由已知，满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的平面地区为下图中的阴影部分：

（图 1）

（2）解：设收益为万元，则目的函数为.考虑z=2x+3y，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又由于满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组，得点的坐标为，所以.

答：生产甲种肥料车皮、乙种肥料车皮时收益最大，且最大收益为万元.

（图 2） 

考试知识点点睛：解答线性规划应用题的一般步骤：

审题——仔细阅读，准确理解题意，明确有什么限制条件，起重点用途的变量有什么．因为线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借用表格来处置．

转化——设出未知量，由条件列出约束条件确立目的函数，从而将实质问题转化为线性规划问题．

作图——作出可行域，求出可行域边界点的坐标．

求解——借助图形法求出最佳解和最值．

作答——就应用题提出的问题作出回答．

几个注意点：列不等式组时，要特别注意表达不等关系的词汇；平移直线时，特别注意斜率大小与直线的倾斜程度，准确找出最佳解对应直线的地方；将求解得到数学结论转化为实质问题的结论．

考试知识点9、耗费资源最少问题

例9．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．要使总运费最少，煤矿应如何编制调运策略？

【答案】甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少．

【分析】

设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，

那样总运费z＝x＋1.5＋0.8y＋1.6，

即z＝780－0.5x－0.8y.

x、y应满足

作出上面的不等式组所表示的平面地区如图所示．

设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，

则M，把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过点M时，z的值最小．

∵点M的坐标为，

∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少．

考试知识点点睛：求最佳解时，常常要考虑直线的地方，精准作图又比较麻烦，这个时候可通过比较直线的斜率来判断其地方．